程序员面试金典 - 面试题 16.09. 运算
xsobi 2024-11-23 10:50 1 浏览
题目难度: 中等
原题链接[1]
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题目描述
请实现整数数字的乘法、减法和除法运算,运算结果均为整数数字,程序中只允许使用加法运算符和逻辑运算符,允许程序中出现正负常数,不允许使用位运算。
你的实现应该支持如下操作:
- Operations() 构造函数
- minus(a, b) 减法,返回 a - b
- multiply(a, b) 乘法,返回 a * b
- divide(a, b) 除法,返回 a / b
示例:
- Operations operations = new Operations();
- operations.minus(1, 2); //返回-1
- operations.multiply(3, 4); //返回 12
- operations.divide(5, -2); //返回-2
提示:
- 你可以假设函数输入一定是有效的,例如不会出现除法分母为 0 的情况
- 单个用例的函数调用次数不会超过 1000 次
题目思考
- 可以从哪个运算入手?
- 是否可以利用已经实现的操作?
解决方案
思路
- 这道题目乍一看无从下手, 如何做到只使用加法和逻辑运算符来实现减/乘/除呢?
- 首先来看减法, a-b 相当于 a+(-b), 如果我们能够实现取反操作, 则直接就能实现减法
- 要实现取反, 我们可以利用数字的二进制性质, 维护每一个 2 的幂和 -2 的幂, 然后如果当前数字的某一个二进制位为 1 的话, 直接加上与之对应的相反数即可, 具体过程可以参考下面代码
- 然后再说乘法, 我们可以利用因数分解来实现, 例如 123*15=123*(8+4+2+1), 我们可以维护当前的因子和乘积, 每次循环到因子最接近当前被乘数为止, 然后累加乘积并将被乘数减去因子, 继续循环直到被乘数变为 0
- 最后再看除法, 同样可以利用因数分解来实现, 例如 123/10=12=8+4, 维护当前的商和乘积, 每次循环到乘积最接近当前被除数为止, 然后累加商并将被除数减去乘积, 继续循环直到被除数小于除数
- 另外乘除法也要处理操作数的符号问题, 可以将操作数统一转成正数方便处理, 这里利用上面定义好的取反操作即可
- 下面代码就对应了上面的整个过程, 且每一步有详细的注释, 方便大家理解
复杂度
- 时间复杂度 O(logN): 减/乘/除都需要遍历 32 位
- 空间复杂度 O(logN): 需要存储 2*32 个 2 的幂
代码
class Operations:
def __init__(self):
# ps存储[1,2,4,...], 即2的幂
# ns存储[-1,-2,-4,...], 即-2的幂
# 利用这两个数组来实现取反操作
self.ps = []
self.ns = []
self.n = 32
p, n = 1, -1
for i in range(self.n):
self.ps.append(p)
self.ns.append(n)
if i < 31:
p = self.lShift(p)
n = self.lShift(n)
def neg(self, x: int) -> int:
res = 0
if x > 0:
# x是正数, 从大到小遍历2的幂, 如果当前数字大于等于该幂时, 将该数字和最终结果都加上对应的相反数
# 例如x=15=8+4+2+1, 其相反数-15=(-8)+(-4)+(-2)+(-1)
for i in range(self.n)[::-1]:
if x >= self.ps[i]:
res += self.ns[i]
x += self.ns[i]
if x == 0:
# x已经达到0, 没有必要继续遍历, 直接break
break
elif x < 0:
# 类似上面的过程, 只是改变判断符号
for i in range(self.n)[::-1]:
if x <= self.ns[i]:
res += self.ps[i]
x += self.ps[i]
if x == 0:
break
return res
def lShift(self, x: int) -> int:
# 左移操作等价于x+x
return x + x
def minus(self, a: int, b: int) -> int:
# a-b即为a+(-b), 直接利用上面定义的取反操作即可
return a + self.neg(b)
def multiply(self, a: int, b: int) -> int:
if a == 0 or b == 0:
# 乘数为0, 积也为0
return 0
if b < 0:
# 将b取反转成正数, 方便处理, 注意最终结果也要取反
return self.neg(self.multiply(a, self.neg(b)))
# 因子分解实现乘法
# 例如multiply(123,15), 123*15=123*(8+4+2+1)
# 外层循环4次, 对应的cur和t分别是(123*8, 8), (123*4, 4), (123*2, 2), (123*1, 1), 累加cur即为最终乘积
res = 0
# 注意循环条件是b!=0, 因为最终因子一定能分解成多个2的幂的和, b一定能变成0
while b:
# cur表示当前部分的乘积
cur = a
# t表示当前不超过b的因子
t = 1
while self.lShift(t) <= b:
cur = self.lShift(cur)
t = self.lShift(t)
# 更新最终乘积和b
res += cur
b = self.minus(b, t)
return res
def divide(self, a: int, b: int) -> int:
if a == 0:
# 被除数为0, 商也为0
return 0
# 将除数和被除数都转成正数, 并加上对应符号, 方便处理
pos = True
if a < 0:
a = self.neg(a)
pos = not pos
if b < 0:
b = self.neg(b)
pos = not pos
# 因子分解实现除法
# 例如divide(123,10), 123/10=12=8+4
# 外层循环2次, 对应的cur和t分别是(8, 10*8), (4, 10*4), 累加cur即为最终的商
res = 0
# 注意循环条件是a>=b, 因为a<b的时候对应的商是0
while a >= b:
# cur表示当前部分的商
cur = 1
# t表示当前不超过a的乘积
t = b
while self.lShift(t) <= a:
cur = self.lShift(cur)
t = self.lShift(t)
# 更新最终商和a
res += cur
a = self.minus(a, t)
if not pos:
res = self.neg(res)
return res
参考资料
[1]
原题链接: https://leetcode-cn.com/problems/operations-lcci/
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